指数・対数
Contents
指数・対数#
べき乗#
基本#
\[ a^1 = a\]
\[ a^0 = 1\]
\[ a^{-1} = \dfrac{1}{a}\]
\[ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\]
\[ a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\]
\[ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\]
\[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\]
Note
べき乗の指数が自然数の場合を累乗と言う
指数法則#
\(a,b\)を任意の数、\(m,m\)を正の整数とすると
\[a^m \times a^n = a^{m+n}\]
\[a^m \div a^n = a^{m-n}\]
\[(a^m)^n = a^{mn}\]
\[(ab)^n = a^n b^n\]
\[(\dfrac{a}{b})^n = \dfrac{a^n}{b^n}\]
対数関数#
定義#
\(a > 0, a \neq 1, M > 0\) の時
\[
a^p = M
\Longleftrightarrow
\log_a M = p
\]
“log of \(M\) to the base \(a\)” – https://you-eigo.com/logarithms/
公式#
\(a > 0, a \neq 1, M > 0\) の時
\[ \log_a a = 1 \]
\[ \log_a 1 = 0 \]
\[ \log MN = \log M + \log N\]
\[ \log \dfrac{M}{N} = \log M - \log N \]
\[ \log M^r = r \log M\]
底の変換公式#
\(a, b, c > 0, a, b, c \neq 1\) の時
\[\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\]
\[\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\]
自然対数#
\[ \ln x = \log_e x\]
\[ \ln exp(x) = \log_e e^{x} = x\]